Nada contém tudo.

Uma traduçãozinha dum pedaço magnífico de "Naive Set Theory", do Paul Halmos. Usei E para pertence E' para não pertence. Meio estranho, mas quebra o galho. Se tiver com preguiça de ler, dizer "isto é uma demontração de que nenhum conjunto contém todas as coisas pensáveis" pode ser um estímulo para a leitura densa. A estorinha começa com o axioma da especificação, que é uma dos pressupostos básicos da teoria dos conjuntos, aquela mesma que aprendemos os rudimentos na escola.

Aperte os cintos. Lá vai:

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Axioma da especificação: Para todo conjunto A e toda condição S(x) corresponde um conjunto B cujos elementos são exatamente aqueles elementos x de A para os quais S(x) é verdadeiro.
[...]

Para obter uma incrível e instrutiva aplicação do axioma da especificação, considere, no lugar de S(x), a sentença:
"x E x"

Segue que, qualquer que seja o conjunto A, se B = { x E A | x E' x}, então, para todo y,

(*) y E B se e somente se (y E A e y E' y )

É possível que B E A ? Continuaremos para provar que a resposta é não. De fato, se B E A, então ou B E B, ou ainda B E' B. Se B E B, então, por (*), a suposição de que B E A leva a B E' B - uma contradição. Se B E' B, então, por (*) de novo, chegamos a B E B - uma contradição novamente. Isto completa a prova de que B Є A é impossível, então necessariamente B E' A. A parte mais interessante desta conclusão é que existe algo (chamado B) não pertencente a A. Mas o conjunto A neste argumento é um conjunto arbitrário. Provamos, em outras palavras, isso:

Nada contém tudo.